Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線 AB 分別交 x 軸、y 軸于點A（a，0）點 B（0，b），且a、b滿足a2+4a+4+|2a+b|＝0

（1）a＝ ；b＝ ．

（2）點 P 在直線AB的右側，且∠APB＝45°

①若點P在x軸上，則點P的坐標為 ；

②若△ABP 為直角三角形，求點P的坐標；

（2）如圖2，在（2）的條件下，點P在第四象限，∠BAP＝90°，AP與y軸交于點M，BP與x軸交于點N，連接MN，求證：MP平分△BMN的一個外角．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，4；（2）①（4，0）；②P（4，2）或（2，﹣2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用非負數的和等于0，即可建立方程組求出a，b；

（2）①利用等腰直角三角形的性質即可得出結論；

②分兩種情況，利用等腰三角形的性質，及全等三角形的性質求出PC，BC，即可得出結論；

（3）先判斷出∠PMG=∠AHP，再SSS判斷出△PMN≌△PHN，得出∠AHP=∠PMN，即可得出結論．

（1）∵a2+4a+4+|2a+b|＝0，

∴（a+2）2+|2a+b|＝0，

∴a＝﹣2，b＝4，

故答案為：﹣2，4；

（2）①如圖 1，由（1）知，b＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

點 P 在直線 AB 的右側，且在 x 軸上，

∵∠APB＝45°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0），

故答案為：（4，0）；

②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

如圖 3，

Ⅰ、當∠ABP＝90°時，∵∠APB＝∠BAP＝45°，

∴AB＝PB ，

過點 P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC，

在△AOB和△BCP中，

∴△AOB≌△BCP（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝2，

∴P（4，2），

Ⅱ、當∠BAP＝90°時， 過點 P'作 P'D⊥OA 于 D，

同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣OA＝2，

∴P'（2，﹣2）；

即：滿足條件的點 P（4，2）或（2，﹣2）；

（3）如圖 2，由（2）知點 P（2，﹣2），

∵A（﹣2，0），

∴直線 AP 的解析式為 y＝﹣x﹣1，

∴M（0，﹣1），

∴BM＝5，

同理：直線 BP 的解析式為 y＝﹣3x+4，

∴N（，0），

∴MN＝，

過點 P 作 PH∥AB 交 x 軸于 H，

∵∠BAP＝90°，

∴∠BAO+∠PAH＝90°，

∴∠BAO+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠PAH，

在△ABM和△PAH中，

，

∴△ABM≌△PAH（ASA），

∴∠AMB＝∠PHA，AH＝BM＝5，

∴∠PMG＝∠PHA，OH＝AH﹣OA＝3，

∴H（3，0），

∴NH＝3﹣＝＝MN，

∵P（2，﹣2），M（0，﹣1），H（3，0），

∴PM＝，PH＝，

∴PM＝PH，

∴△PNM≌△PNH（SSS），

∴∠AHP＝∠PMN，

∴∠PMG＝∠PMN，

即：MP 是△BMN 的一個外角的平分線．