Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足 ，過C作CB⊥x軸于B．

（1）求△ABC的面積．
（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數．
（3）在y軸上是否存在點P，使得△ABC和△ACP的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵（a+2）2+ =0，

∴a=2=0，b﹣2=0，

∴a=﹣2，b=2，

∵CB⊥AB

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），

∴△ABC的面積= ×2×4=4

（2）

解：∵CB∥y軸，BD∥AC，

∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，

過E作EF∥AC，如圖①，

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，

∴∠AED=∠1+∠2= （∠CAB+∠ODB）=45°

（3）

解：①當P在y軸正半軸上時，如圖②，

設P（0，t），

過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，

∵S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4，

∴ ﹣t﹣（t﹣2）=4，解得t=3，

②當P在y軸負半軸上時，如圖③

∵S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4

∴ +t﹣（2﹣t）=4，解得t=﹣1，

∴P（0，﹣1）或（0，3）

【解析】（1）根據非負數的性質易得a=﹣2，b=2，然后根據三角形面積公式計算；（2）過E作EF∥AC，根據平行線性質得BD∥AC∥EF，且∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2= （∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入計算即可；（3）分類討論：設P（0，t），當P在y軸正半軸上時，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，利用S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4可得到關于t的方程，再解方程求出t；
當P在y軸負半軸上時，運用同樣方法可計算出t．
【考點精析】掌握平行線的判定與性質和三角形的面積是解答本題的根本，需要知道由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；三角形的面積=1/2×底×高．