Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，E是弧AB上的一動點(不與A，B重合)，F是弧BC上的一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，H，且∠EOF＝90°，有以下結論：①＝；②△OGH是等腰直角三角形；③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；④△OGH周長的最小值為4＋.其中正確的是(　　)

A. ①③④ B. ①②③ C. ①② D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】①連接OA，OB，根據正方形的性質，知∠AOB=90°=∠EOF，又∠BOE共用，故可得∠AOE=∠BOF，再根據圓心角定理可得①＝；故①正確；

②連接OB，OC，證明△OGB≌△OHC，可得OG=OH，即可得出△OGH是等腰直角三角形；故②正確；

③過點O作OM⊥BC，ON⊥AB，易證得△OGN≌△OHM，因此可得出S△OGN=S△OHM，故不管點E的位置如何變化，四邊形OGBH的面積不變；故③錯誤；

④過點B作B關于OF的對稱點P（易知點P在⊙O上），連接PH，則PH=BH；過點B作B關于OE的對稱點Q（易知點Q在⊙O上），連接QG，則QG=BG；連接PQ，易證明PQ過圓心O，則PQ==4≠４＋，故④錯誤.

①如圖所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE與△COF中，

∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴ ，①正確；
②∵BE=CF，
∴△BOG≌△COH；
∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，
∴∠GOH=90°，OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正確．
③如圖所示，

∵△HOM≌△GON，
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，③錯誤；
④過點B作B關于OF的對稱點P（易知點P在⊙O上），連接PH，則PH=BH；過點B作B關于OE的對稱點Q（易知點Q在⊙O上），連接QG，則QG=BG；

連接PQ，易證明PQ過圓心O，

∴PQ==4≠４＋，

故④錯誤.

綜上，①②正確，③④錯誤.

故選：C