Question

【題目】已知：如圖1，等邊△ABC內接于⊙O，點P是⌒AB上的任意一點，連結PA，PB，PC．點D是PC上一點，連結DB．

(1) 若PD=PB，求∠PBD的度數；

(2)在(1)的條件下，小麗探究的值，她認為只要弄清PA+PB與PC的關系即可，她的思路可以用以下框圖表示：

根據小麗的思路，請你完整地書寫本題的探究過程，并求出的值．

(3)如圖2，把條件“等邊△ABC”改為“正方形ABCD”，其余條件不變，判斷是定值嗎？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質與判定即可得證；

（2）先通過“邊角邊”證明△PBA≌△DBC，則PA=CD，即PC=CD+PD=PA+PB，然后整理求解即可；

（3）根據正方形的性質通過“邊角邊”證明△PAB≌△HAD，得PB=DH，即PD=DH+PH=PB+PA，同理可證： PC=PA+PB，則可得PC+PD=（1+）（PA+PB），然后進行整理計算即可.

解：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵∠BPD=∠CAB=60°，PD=PB，

∴△PDB是等邊三角形，

∴∠PBD=∠ABC=60°．

(2)∵∠PBD=∠ABC=60°

∴∠PBA=∠DBC，

∵BP=BD，BA=BC，

∴△PBA≌△DBC（SAS），

∴PA=CD，

∴PC=CD+PD=PA+PB．

∴；

(3)如圖2中，連接OA，OD，作AH⊥AP交PD于點H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=90°，∠AOD=90°，

∵∠APD=∠AOD=45°，AH⊥PA，

∴∠PAH=90°，∠AHP=∠APH=45°，

∴AH=AP，

∵∠PAH=∠BAD=90°，

∴∠PAB=∠HAD，

∴△PAB≌△HAD（SAS），

∴PB=DH，

∴PD=DH+PH=PB+PA，

同理可證：PC=PA+PB，

∴PC+PD=（1+）（PA+PB），

∴.