Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣x+b與反比例函數y= （k≠0）的圖象相交于A（﹣1，4）、B（4，﹣1）兩點，直線l⊥x軸于點E（﹣4，0），與反比例函數和一次函數的圖象分別相交于點C、D，連接AC、BC

（1）求出b和k；
（2）求證：△ACD是等腰直角三角形；
（3）在y軸上是否存在點P，使S△PBC=S△ABC？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函數y=﹣x+b的圖象經過點A（﹣1，4）

∴﹣（﹣1）+b=4，

即b=3，

又∵反比例函數y= （k≠0）的圖象經過點A（﹣1，4）

∴k=xy=（﹣1）×4=﹣4；

（2）證明：∵直線l⊥x軸于點E（﹣4，0）則直線l解析式為x=﹣4，

∴直線x=﹣4與一次函數y=﹣x+3交于點D，則D（﹣4，7）

直線x=﹣4與反比例函數y=﹣ 交于點C，

則C（﹣4，1）

過點A作AF⊥直線l于點F，

∵A（﹣1，4），C（﹣4，1），D（﹣4，7）

∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3

又∵∠AFD=∠AFC=90°，

由勾股定理得：AC=AD=3

又∵AD2+AC2= =36

CD2=62=36

∴AD2+AC2=CD2

∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，

又∵AD=AC

∴△ACD是等腰直角三角形；

（3）解：過點A作AP1∥BC，交y軸于P1，

則S△PBC=S△ABC

∵B（4，﹣1），C（﹣4，1）

∴直線BC的解析式為y=﹣ x

∵設直線AP1的解析式為y=﹣ x+b1，把A（﹣1，4）代入可求b1= ，

∴P1（0， ），

∴作P1關于x軸的對稱點P2，則 =S△ABC，

故P2（0，﹣ ）；

即存在P1（0， ），P2（0，﹣ ）；

【解析】（1）利用待定系數法即可求解。
（2）根據已知及點E的坐標易求出點C、D的坐標，因此可求出DC的長，過點A作AF⊥直線l于點F，即可求出AF，DF，FC的長，根據垂直平分線的性質得出AC=AD，然后再證明△ACD是直角三角形，即可得出結論。
（3）先求出直線BC的函數解析式，再求出直線AP1的解析式，就可求出點P1的坐標。作P1關于x軸的對稱點P2，則S △ P 1 B C = S △ P 2 B C=S△ABC，，就可求出點P2的坐標。
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)的相關知識才是答題的關鍵．