Question

【題目】如圖，矩形ABCD的頂點AB在x軸上，點D的坐標為（6，8），點E在邊BC上，△CDE沿DE翻折后點C恰好落在x軸上點F處，若△ODF為等腰三角形，點E的坐標為 ．

Answer 1

【答案】（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．

【解析】

試題分析：先依據勾股定理求得OD=10，①當OD=DF時，由勾股定理可求得AF=6，故此可求得OF=12，由翻折的性質可知DC=10，從而得到點E的橫坐標為16，FB=4，最后在Rt△EFB中，依據勾股定理列方程求解即可；②當OD=OF時．先求得AF=4，由勾股定理可求得DF=4，從而得到點E的橫坐標為6+4，FB=4﹣4，最后在Rt△EFB中，依據勾股定理列方程求解即可；③當OF=DF時，設點F的坐標為（b，0），依據兩點間的距離公式列出關于b的方程可求得b=．即OF=，從而得到AF=，依據勾股定理可求得DF=，從而得到點E的橫坐標為，BF=6，最后在Rt△EFB中，依據勾股定理列方程求解即可．

解：∵點D的坐標為（6，8），

∴OD=10．

①當OD=DF=10時．

∵DF=10，AD=8，

∴AF=6．

∴OF=12．

由翻折的性質可知：DC=DF=10，FE=CE，

∴點E的橫坐標為16．

∴FB=4．

設點E的縱坐標為a，則FE=8﹣a．

在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即42+a2=（8﹣a）2，解得a=3．

∴點E的坐標為（16，3）．

②當OD=OF時．

∵OF=10，0A=6，

∴AF=4．

∵在Rt△DAF中，DF==4．

∴點E的橫坐標為6+4．

∴FB=4﹣4．

設點E的縱坐標為a，則FE=8﹣a．

在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即（4﹣4）2+a2=（8﹣a）2，解得a=2﹣2．

∴點E的坐標為（4+6，2﹣2）．

③當OF=DF時，設點F的坐標為（b，0），則82+（b﹣6）2=b2．解得：b=．即OF=．

∵OA=6，OF=，

∴AF=．

∴DF==．

由翻折的性質可知：DC=DF，則點E的橫坐標為+6=．

在Rt△EFB中，FB2+BE2=FE2，即（﹣）2+a2=（8﹣a）2，解得a=．

∴點E的坐標為（，）．

綜上所述，點E的坐標為（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．

故答案為：（16，3）或（4+6，2﹣2）或（，）．