Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，反比例函數的圖象經過點A（1，4），B（m，n）．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若二次函數的圖象經過點B，求代數式的值；

（3）若反比例函數的圖象與二次函數的圖象只有一個交點，且該交點在直線y＝x的下方，結合函數圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0＜a＜2或a＜－．

【解析】試題分析：（1）將點A的坐標代入反比例函數求出k即可；

（2）先求出mn的值，再根據二次函數圖象上點的坐標特征表示出n，然后代入整理即可得解；

（3）先求出反比例函數與直線的交點坐標，再根據二次函數圖象上點的坐標特征列不等式計算即可得解．

試題解析：（1）將A（1，4）代入函數y＝得：k=4

反比例函數y＝的解析式是

（2）∵B（m，n）在反比例函數y＝上，

∴mn=4，

又二次函數y＝（x－1）2的圖象經過點 B（m，n），

∴即n-1=m2-2m

∴；

（3）由反比例函數的解析式為，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．

∴反比例函數的圖象與直線y＝x交于點（2，2），（－2，－2）．

如圖，當二次函數y＝a（x－1）2的圖象經過點（2，2）時，可得a＝2；

當二次函數y＝a（x－1）2的圖象經過點（－2，－2）時，可得a＝－.

∵二次函數y＝a（x－1）2圖象的頂點為（1，0），

∴由圖象可知，符合題意的a的取值范圍是0＜a＜2或a＜－.