Question

【題目】平行四邊形的對角線相交于點，的外接圓交于點且圓心恰好落在邊上，連接，若.

（1）求證：為切線.

（2）求的度數.

（3）若的半徑為1，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析;（2）;（3）

【解析】

（1）連接OB，根據平行四邊形的性質得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根據圓周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝90°，根據平行線的性質得到OB⊥BC，即可得到結論；

（2）連接OM，根據平行四邊形的性質得到BM＝DM，根據直角三角形的性質得到OM＝BM，求得∠OBM＝60°，于是得到∠ADB＝30°；

（3）連接EM，過M作MF⊥AE于F，根據等腰三角形的性質得到∠MOF＝∠MDF＝30°，根據OM＝OE＝1，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD＝∠BCD＝45°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DOB＋∠OBC＝180°，

∴∠OBC＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC為⊙O切線；

（2）解：連接OM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BM＝DM，

∵∠BOD＝90°，

∴OM＝BM，

∵OB＝OM，

∴OB＝OM＝BM，

∴∠OBM＝60°，

∴∠ADB＝30°；

（3）解：連接EM，過M作MF⊥AE于F，

∵OM＝DM，

∴∠MOF＝∠MDF＝30°，

∵的半徑為1

∴OM＝OE＝1，

∴FM＝,OF＝，

∴EF＝1

故EM==．