Question

【題目】我們把一個半圓與二次函數圖象的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點（半圓與二次函數圖象的連接點除外），那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，二次函數y=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點D，AB為半圓直徑，半圓圓心為點M，半圓與y軸的正半軸交于點C．

（1）求點C的坐標；

（2）分別求出經過點C和點D的“蛋圓”的切線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）y=x+；y=﹣2x﹣3．

【解析】

試題分析：（1）連接CM，易求點A，B的坐標，進而可得到AB的長，則圓的半徑可求出，再由勾股定理可求出OC的長，繼而可求出點C的坐標；

（2）由（1）可知點C的坐標，設過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G，然后根據三角形性質求出G點坐標，用待定系數法求出直線GC的解析式；因為經過點D的“蛋圓”切線過D點，所以本題可設它的解析式為y=kx﹣3．根據圖象可求出拋物線的解析式，因為相切，所以它們的交點只有一個，進而可根據一元二次方程的有關知識解決問題．

解：（1）∵二次函數y=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點D，

∴點A（﹣1，0），點B的坐標是（3，0），

∴AB=4，

∵半圓圓心為點M，

∴BM=AM=2，

∴OM=1，

連接CM，

∴OC==，

∴點C的坐標是（0，）；

（2）設過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G，

∵GC是⊙M的切線，

∴∠GCM=90°，

∴cos∠OMC==，

∴=，

∴MG=4，

∴G（﹣3，0），

∴直線GC的表達式為y=x+；

設過點D的直線表達式為y=kx﹣3，

∴，

∴x2﹣（2+k）x=0，

∴△=[﹣（2+k）]2=0，

∴k=﹣2，

∴過點D的“蛋圓”的切線的表達式為y=﹣2x﹣3．