Question

【題目】在小學，我們已經初步了解到，正方形的每個角都是90°，每條邊都相等．如圖，在正方形ABCD外側作直線AQ，且∠QAD=30°，點D關于直線AQ的對稱點為E，連接DE、BE，DE交AQ于點G，BE交AQ于點F．

（1）求∠ABE的度數；

（2）若AB=6，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）3

【解析】

試題分析：（1）連接AE，由軸對稱的性質和線段垂直平分線的性質得出∠EAQ=∠QAD=30°，由正方形的性質得出∠BAD=90°，AB=AD，得出AE=AB，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果；

（2）證出△AED是等邊三角形，得出ED=6，由線段垂直平分線得出EG=3，∠FGE=90°，證出∠EFG=∠FEG=45°，得出EG=FG=3即可．

解：（1）連接AE，如圖1所示：

∵點D關于直線AQ的對稱點為E，

∴AE=AD，AQ垂直平分DE，

∴∠EAQ=∠QAD=30°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∴AE=AB，

∴∠BAE=30°+30°+90°=150°，

∴∠ABE=（180°﹣150°）=15°；

（2）由（1）得：AE=AD，∠EAD=60°，

∴△AED是等邊三角形，ED=6，

∵AQ垂直平分DE，

∴EG=3，∠FGE=90°，

∵∠EAD=30°，∠AEB=15°，

∴∠EFG=∠FEG=45°，

∴EG=FG=3．