Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：已知方程，求一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．

解：設所求方程的根為，則，所以．

把代入已知方程，得

化簡，得

故所求方程為．

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．

（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為： ．

（2）已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數；

（3）已知關于的方程有兩個實數根，求一個方程，使它的根分別是已知方程根的平方．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）它的根分別是已知方程根的相反數，因此所求方程的根為y，則y=-x，將x=-y代入方程就可得到所求的方程.（2）設所求方程的根為y，可得到x= ， 將其代入方程，就可得到a+by+cy2=0，再分情況討論：當c=0和x≠0，即可求解.（3）設所求方程的根為y，由已知可得到y=x2 ， 由此可得到x= ， 分別將x的值代入方程，就可得到所求的方程.

（1）設所求方程的根為 ，則 ，

所以．

把代入已知方程，得， ，

化簡，得 ，

故所求方程為；

（2）設所求方程的根為，則，于是 ，

把代入方程，得 ，

去分母，得 ，

若，有，

于是方程有一個根為0，不符合題意，

，

故所求方程為 ；

（3）設所求方程的根為，則，

所以 ，

①當時，把代入已知方程，得

，即；

②當時，把代入已知方程，得

，即

∴所求方程為或.