Question

【題目】如圖1所示，在ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s，同時，點Q從點C出發，沿射線CB方向勻速運動，速度為1cm/s，當△PNM停止平移時，點Q也停止運動，如圖2所示，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當t為何值時，PQ∥MN？
（2）設△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使得PQ=QM，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，由題意得：CQ=AP=t，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= = =4，

∴CP=4﹣t，

由平移的性質可得MN∥AB，

∵PQ∥MN，

∴PQ∥AB，

∴ ，即 ，

解得t= ，

則當t為何值時，PQ∥MN

（2）

解：如圖2，過點P作PF⊥BC于點F，過點A作AE⊥BC于點E，

由S△ABC= AB×AC= AE×BC，

×3×4= ×5AE，

可得：AE= ，

則由勾股定理易得：CE= = = ．

∵PD⊥BC，AE⊥BC，

∴AE∥PD，

∴△CPD∽△CAE，

∴ ，即

∴PD= ，CD= ，

∵PM∥BC，

∴點M到BC的距離h=PD= ，

∴△QCM的面積y= CQ×h= × =﹣ + （0＜t＜4）

（3）

解：如圖3，過點Q作QD⊥PM于點D，QD交AC于點H．

∵PQ=MQ，

∴PD=DM= ，且DQ⊥BC．

在Rt△ABC中，AC=4，AP=t，QC=t．

∵∠A=∠HQC，∠ACB=∠QCH，

∴△CQH∽△CAB，

∴ ，即 ，

∴CH= t，

∴PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣t﹣ t=4﹣ t，

易證△PHD∽△CBA，

∴ ，

即 ，

解得t= ．

∴當t= 時，PQ=QM．

【解析】（1）如圖1，先根據題意得：CQ=AP=t，利用勾股定理求AC的長，根據PQ∥AB，列比例式可求得t的值；（2）如圖2，作輔助線，構建相似三角形，利用面積法得：S△ABC= AB×AC= AE×BC，可得：AE= ，由勾股定理易得：CE= ．證明△CPD∽△CAE，列比例式 ，求PD和CD的長，根據面積公式求△QCM的面積y；（3）如圖3，作輔助線，構建相似三角形，證明△CQH∽△CAB，列比例式得： ，表示CH= t，則PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣ t，易證△PHD∽△CBA，列式可求得t的值．
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．