Question

【題目】如圖，在△ABC中，O是AC上一動點（不與點A、C重合），過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）OE與OF相等嗎？證明你的結論；

（2）試確定點O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形

【解析】整體分析：

（1）利用等角對等邊分別判斷OE=OC，OF=OC；（2）先判斷四邊形AECF是平行四邊形，再證明∠ECF=90°.

解：（1）OE=OF，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，

∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．