Question

【題目】（1）如圖 1，在四邊形 ABCD 中，AB∥DC，E 是 BC 中點，若 AE 是∠BAD 的平分線，試探究 AB，AD，DC 之間的數量關系，請直接寫出結論，無需證明．

（2）如圖 2，在四邊形ABCD 中，AB∥DC，AF 與DC 的延長線交于點F，E 是BC 中點，若AE 是∠BAF 的平分線，試探究AB，AF，CF 之間的數量關系，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明詳見解析.

【解析】

（1）延長AE交DC的延長線于點F，證明△AEB≌△FEC，根據全等三角形的性質得到AB＝FC，根據等腰三角形的判定得到DF＝AD，證明結論；

（2）延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明．

（1）延長AE交DC的延長線于點F．

∵E是BC的中點，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F．

在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC．

∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE＝∠EAD．

∵∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC+CF＝DC+AB；

（2）如圖②，延長AE交DF的延長線于點G．

∵E是BC的中點，∴CE＝BE．

∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．

在△AEB和△GEC中，∵，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC．

∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG．

∵∠BAE＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．