Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線 l 經過點A(2，﹣3)，與 x 軸交于點 B，且與直線y=3x-平行．

(1)求直線l的函數解析式及點B的坐標；

(2)如直線l上有一點 M(a，﹣6)，過點 M 作 x 軸的垂線，交直線 y=3x-于點N，在線段MN上求一點P，使△PAB是直角三角形，請求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線l的解析式為y=3x9，B點坐標為(3,0)；（2）P1(1,1)，P2(1,2)，P3(1, ).

【解析】

（1）設直線l的解析式為：y=kx+b，因為直線l與直線y=3x-平行，所以k=3，又直線l經過點A（2，-3），從而求出b的值，即可求出直線l的函數解析式及點B的坐標；

（2）點M（a，-6）在直線l上，所以可先求出a的值，設點P(1,y)，求出y的取值范圍，再分情況討論：當AB為斜邊時，當PB為斜邊時，當PA為斜邊時，利用勾股定理建立方程求解即可．

解：（1）設直線l的解析式為y=kx+b(k≠0)，

∵直線l平行于y=3x-，

∴k=3，

∵直線l經過點A(2,3)，

∴3=3×2+b，b=9，

∴直線l的解析式為y=3x9,

當y=0時，x=3，

∴點B坐標為(3,0)；

(2)∵點M(a,6)在直線l上，

∴3a-9=-6

∴a=1，則可設點P(1,y)，

當x=1時，=

∴N(1,),

∴y的取值范圍是6≤y≤，

∵P(1,y)，A(2，-3)，B (3,0)

∴，

當AB為斜邊時,PA2+PB2=AB2,即，

整理得，解得y1=1,y2=2,

∴P1(1,1)，P2(1,2)，

當PB為斜邊時,PA2+AB2=PB2，，

解得，

∴P3(1, )，

當PA為斜邊時,PB2+AB2=PA2,即，

解得y=，

∵6≤y≤，故y=不符合題意，舍去.

∴綜上所述，點P的坐標為P1(1,1)，P2(1,2)，P3(1, ).