Question

【題目】如圖△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BM是AC邊的中線,作AD⊥BM,垂足為點E,交BC于點D,且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，連接DM，則下列結論：①∠AMB=∠CMD②HN=HD③BN=AD④∠BNH=∠MDC⑤MC=DC中,正確的有( )個

A.5個B.4個C.3個D.2個

Answer 1

【答案】B

【解析】

如圖，過點C作KC⊥CA交AD的延長線于K，首先根據等腰直角三角形的性質證明△BHN≌△AHD，得到HN＝HD，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，可判斷②③正確，然后利用同角的余角相等得到∠ABM＝∠CAK，進而證明△ABM≌△CAK，得到∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，然后證明△CDM≌△CDK，得到∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，等量代換可得∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，可判斷①④正確，而條件不足，無法證明MC=DC，故⑤錯誤.

解：如圖，過點C作KC⊥CA交AD的延長線于K．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，

∴AH⊥BC，BH＝CH，

∴AH＝BH＝CH，

∵AD⊥BM，

∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，

∵∠BNH＝∠ANE，

∴∠HBN＝∠DAH，

∴△BHN≌△AHD（ASA），

∴HN＝HD，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正確，

∵∠BAM＝∠ACK＝90°，

∴∠BAE＋∠CAK＝90°，

∵∠BAE＋∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAK，

∵AB＝AC，

∴△ABM≌△CAK（ASA），

∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，

∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，

∴△CDM≌△CDK（SAS），

∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，

∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正確，

由于條件不足，無法證明MC=DC，故⑤錯誤，

故選：B．