Question

【題目】如圖，點E，F在菱形ABCD的對邊上，AE⊥BC．∠1＝∠2．

（1）判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結論．

（2）若AE＝4，AF＝2，試求菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】四邊形AECF是矩形，理由見解析；（2）菱形ABCD的面積＝20.

【解析】

（1）由菱形的性質可得AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，由∠1=∠2可得∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC，可得四邊形AECF是矩形；
（2）由勾股定理可求AB的值，由菱形的面積公式可求解．

解：（1）四邊形AECF是矩形
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形
∴AD=BC=AB，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥BC
∴AE⊥AD
∴∠FAE=∠AEC=90°
∵∠1=∠2
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2
∴∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC
∴四邊形AECF是矩形
（2）∵四邊形AECF是矩形
∴AF=EC=2
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
∴AB2=16+（AB-2）2，
∴AB=5
∴菱形ABCD的面積=5×4=20