Question

觀察下列各式：(x－1)(x＋1)＝x²－1；(x－1)(x²＋x＋1)＝x³－1；(x－1)(x³＋x²＋x＋1)＝x⁴－1；…

(1)根據上面各式的規律可得：(x－1)(xⁿ＋x^n－1＋…＋x²＋x＋1)＝________(其中n為正整數)；

(2)利用上述規律，求1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁵⁰的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)認真觀察三個等式，可發現它們的共同特征是：等號左邊第一個含括號的式子相同，都是(x－1)；從第二個式子開始，等號左邊第二個含括號的式子在前一個式子的基礎上依次添加了x2、x3、…，而等號右邊則依次是x3、x4、…與1的差.于是就能得到規律：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn+1－1．(2)設x＝2，n＝50，根據(1)題得到的規律，可以使問題得到解決． 　　解：(1)填xn+1－1； 　　(2)在(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)中，若x取2，n取50，則可得(2－1)(250＋249＋…＋22＋2＋1)＝251－1． 　　故1＋2＋22＋23＋…＋250＝251－1． 　　點評：在解答此類題時，應認真觀察各項之間的變化，尋找規律，然后利用規律解題．