Question

【題目】已知直線l：y=kx（k＜0），將直線y=kx沿y軸向下平移m（m＞0）個單位得到直線y=kx﹣m，平移后的直線與拋物線y=ax2相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）兩點，拋物線y=ax2經過點P（6，﹣9）．
（1）求a的值；
（2）如圖1，當∠AOB＜90°時，求m的取值范圍；

（3）如圖2，將拋物線y=ax2向右平移一個單位，再向上平移n個單位（n＞0）．若第一象限的拋物線上存在點M，N兩點，且M，N兩點關于直線y=x軸對稱，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2經過點P（6，﹣9），

∴36a=﹣9，

解得a=﹣

（2）

解：將y=kx﹣m代入y=﹣ x2，得 x2+kx﹣m=0，

∵y=kx﹣m與拋物線y=﹣ x2相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，

∴y1=﹣ x12，y2=﹣ x22，x1x2=﹣4m，

∴y1y2=（﹣ x12）（﹣ x22）= （﹣4m）2=m2．

當∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．

在△AOM與△OBN中，

，

∴△AOM∽△OBN，

∴ = ，即 = ，

∴y1y2=﹣x1x2，

∴m2=4m，

∵m＞0，

∴m=4，

∴當∠AOB＜90°時，m＞4

（3）

解：∵M，N兩點關于直線y=x軸對稱，

∴直線y=x是線段MN的垂直平分線，

∴直線MN的斜率為﹣1，OM=ON，

∴∠MOP=∠NOP，

∵∠GOP=∠HOP=45°，

∴∠GOM=∠HON．

如圖2，設直線MN的解析式為y=﹣x+b，與平移后的拋物線y=﹣ （x﹣1）2+n交于M、N兩點，交x軸于E點．分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，

設M（m1，n1），N（m2，n2），直線MN與直線y=x交于點P．

在△OMG與△ONH中，

，

∴△OMG≌△ONH，

∴MG=HN，即MG=HE．

將y=﹣ （x﹣1）2+n代入y=﹣x+b得： x2﹣ x+ +b﹣n=0，

由根與系數的關系得m1+m2=6，

∵OE=HE+OH=MG+OH=m1+m2=6，

∴b=6．

即 x2﹣ x+ ﹣n=0，

∵△＞0，

∴（﹣ ）2﹣4× ×（ ﹣n）＞0，

解得n＞4．

又M，N在第一象限，

∴m1m2=4（ ﹣n）＞0，

解得n＜ ，

∴n的取值范圍是4＜n＜

【解析】（1）將點P（6，﹣9）的坐標代入y=ax2 ， 即可求出a的值；（2）將y=kx﹣m代入y=﹣ x2 ， 得 x2+kx﹣m=0，根據二次函數圖象上點的坐標特征以及根與系數的關系得出y1=﹣ x12 ， y2=﹣ x22 ， x1x2=﹣4m，那么y1y2=m2 ． 當∠AOB=90°時，如圖1，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．證明△AOM∽△OBN，根據相似三角形對應邊成比例得出y1y2=﹣x1x2 ， 依此列出關于m的方程，求出m的值，進而得出當∠AOB＜90°時，m的取值范圍；（3）根據軸對稱的性質得出直線y=x是線段MN的垂直平分線，如圖2，設直線MN的解析式為y=﹣x+b，與平移后的拋物線y=﹣ （x﹣1）2+n交于M、N兩點，交x軸于E點，分別過M，N作y軸、x軸垂線，垂足分別為G、H，設M（m1 ， n1），N（m2 ， n2）．利用AAS證明△OMG≌△ONH，得出MG=HN，即MG=HE．將y=﹣ （x﹣1）2+n代入y=﹣x+b得： x2﹣ x+ +b﹣n=0，由根與系數的關系得m1+m2=6，則b=6，那么 x2﹣ x+ ﹣n=0，再根據△＞0以及M，N在第一象限分別列出不等式，進而求出n的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．