Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1．

（1）當∠A為70°時，

∵∠ACD －∠ABD=∠____________

∴∠ACD －∠ABD=______________°

∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1CD －∠A1BD=（∠ACD－∠ABD）

∴∠A1=___________°；

（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續下去可得A4、…、An，請寫出∠A與∠An 的數量關系____________；

（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=　　．

（4）如圖3，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q —∠A1的值為定值.

其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

【答案】（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

（3）25°

（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．

【解析】試題分析：（1）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和的性質填空即可；（2）根據（1）的計算可知∠A=2∠A1由此可知∠A=2n∠An；（3）延長BA、CD交于點M，由∠A+∠D=230°可得∠MAD+∠MDA=130°，根據三角形的內角和定理可得∠M=50°，由（2）的方法可得∠F=25°；（4）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義求出表示出∠Q=180°- ∠A與∠A1= ∠A即可得出結論①是正確的．

試題解析：

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

(3)25°

（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確．

∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD=∠BAC，

∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，

∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，

∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣∠BAC，

∴∠Q+∠A1=180°．