Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．直線PE從B點出發，以2cm/s的速度向點A方向運動，并始終與BC平行，與AC交于點E．同時，點F從C點出發，以1cm/s的速度沿CB向點B運動，設運動時間為t （s）（0＜t＜5）．

（1）當t為何值時，四邊形PFCE是矩形？
（2）設△PEF的面積為S（cm2），求S與t的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使△PEF的面積是△ABC面積的 ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）連接BE，是否存在某一時刻t，使PF經過BE的中點？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB= = =10，

∵PE∥BC，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴PE= （10﹣2t），AE= （10﹣2t），

當PE=CF時，四邊形PECF是矩形，

∴ （10﹣2t）=t，

解得t=

（2）解：S= PECE= × （10﹣2t）×[8﹣ （10﹣2t）]=﹣ t2+ t
（3）解：假設存在．由題意﹣ t2+ t= × ×6×8，

整理得t2﹣5t=5=0，

解得t= ，

∴t= 時，△PEF的面積是△ABC面積的

（4）解：當PE=BF時，PF經過BE的中點．

則有 （10﹣2t）=6﹣t，

解得t=0，不合題意，

∴不存在某一時刻t，使PF經過BE的中點．

【解析】（1）首先依據勾股定理求得AB的長，然后由PE∥BC，可得到△APE∽△ABC，依據相似三角形的性質可得到PE與t的關系式，最后，由當PE=CF時，四邊形PECF是矩形，列出方程求解即可；
（2）由（1）可得到PE、CE的長，然后再根據S=,PECE計算即可；
（3）假設存在．然后由△PEF的面積=△ABC面積的列方程求解即可.
（4）當PE=BF時，PF經過BE的中點．則有（10-2t）=6-t，從而可作出判斷.