Question

紅星公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過市場調查發現，這種商品在未來40天內的日銷售量y₁（件）與時間t（天）的關系如圖所示；未來40天內，每天的價格y₂（元/件）與時間t（天）的函數關系式為：y₂=

1 4 t+25(1≤t≤20) - 1 2 t+40(21≤t≤40)

（t為整數）；
（1）求日銷售量y₁（件）與時間t（天）的函數關系式；
（2）請預測未來40天中哪一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中該公司決定銷售一件商品就捐贈a元（a為定值）利潤給希望工程．公司通過銷售記錄發現，前20天中，第18天的時候，扣除捐贈后日銷售利潤為這20天中的最大值，求a的值．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數關系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得結論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數性質求a的取值．

解答：解：（1）設一次函數為y=kt+b，
將（30，36）和（10，76）代入一次函數y=kt+b中，
有

36=30k+b 76=10k+b

，
解得：

k=-2 b=96

．
故所求函數解析式為y=-2t+96；

（2）設前20天日銷售利潤為W₁元，后20天日銷售利潤為W₂元．
由W₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）
=（-2t+96）（

1

4

t+5）
=-

1

2

t²+14t+480
=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴當t=14時，W₁有最大值578（元）．
由W₂=（-2t+96）（-

1

2

t+40-20）
=（-2t+96）（-

1

2

t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函數對稱軸是t=44，
∴函數W₂在21≤t≤40上，在對稱軸左側，隨t的增大而減小．
∴當t=21時，W₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天時，銷售利潤最大，為578元；

（3）由題意得：W=（-2t+96）（

1

4

t+25-a）（1≤t≤20），配方得：
W=-

1

2

[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20）
∵a為定值，而t=18時，W最大，
∴2（a+7）=18，解得：a=2

點評：此題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握各函數的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性，最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．