Question

（1998•山西）設(shè)直線y=2x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、M，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，交x軸于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且頂點(diǎn)P在已知直線上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m（m≠-1），
（1）求拋物線的解析式（系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可用含m代數(shù)式來表示）．
（2）由點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，連接PB，當(dāng)S_△PNB：S_△MAO=4：1時（其中S_△PNB表示△PNB的面積），求m的值．
（3）當(dāng)S_△PNB：S_△MAO=4：1時，求直線AC的解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，把P和A點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入求出a，h，k的值即可；
（2）由（1）可知A的坐標(biāo)是（-1，0），OA=1，通過二次函數(shù)的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得到OB的長，所以可用含m的代數(shù)式表示出△PNB的面積，利用條件S_△PNB：S_△MAO=4：1，即可求出m的值；
（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，所以可求出C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得求出k和b的值即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵頂點(diǎn)P在已知直線上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，直線y=2x+2，
∴P的縱坐標(biāo)為y=2m+2，
∴h=m，k=2m+2，
∴y=a（x-m）²+2m+2，
對于直線y=2x+2，設(shè)y=0，則2x+2=0，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=a（x-m）²+2m+2得：
0=a（-1-m）²+2m+2，
解得：a=-

2

m+1

，
∴y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2；

（2）由（1）可知A的坐標(biāo)是（-1，0），
∴OA=1，
設(shè)x=0，則直線中y=2，
∴M的坐標(biāo)為（0，2），
∴OM=2，
∴S_△MAO=

1

2

AO•OM=1，
∵S_△PNB：S_△MAO=4：1
∴S_△PNB=4，
設(shè)y=-

2

m+1

（x-m）²+2m+2=0，
解得：x=-1或2m+1，
∴B的坐標(biāo)為（2m+1），
∴OB=2m+1，
∵PM=2m+2，BN=OB-0N=OB-m=m+1，
∴

1

2

•PN•BN=4，
∴

1

2

•（2m+2）•（m+1）=4，
解得：m=1或-3（舍去）；

（3）由（2）可知m=1，所以y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

0=-k+b 3=b

，
解得：

k=-3 b=3

，
∴y=-3x+3．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)和一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題以及三角形的面積求法和一元二次方程的應(yīng)用，題目的綜合性強(qiáng)，難度中等．