Question

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=12，BD=16，E為AD中點，點P在軸上移動.小明同學寫出了兩個使△POE為等腰三角形的P點坐標（，）和（，）.請你寫出其余所有符合這個條件的P點坐標                 .

Answer 1

（，）和（，）

試題分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E為AD中點，根據菱形的性質與直角三角形的性質，易求得OE的長，然后分別從①當OP= OE時，②當OE=PE時，③當OP=EP時去分析求解即可求得答案．
∵四邊形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，OA=AC=6，OD=BD=8，
∴在Rt△AOD中，
∵E為AD中點，
∴OE=AD=5，
①當OP=OE時，P點坐標（-5，0）和（5，0）；
②當OE=PE時，此時點P與D點重合，即P點坐標為（8，0）；
③如圖，當OP=EP時，過點E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分線PF，交OE于點F，交x軸于點P，

∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=OA=3，
∴
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=：4，
解得，
∴P點坐標為（，0）．
∴其余所有符合這個條件的P點坐標為：（8，0）或（，0）．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．