Question

【題目】已知關于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0

（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）若關于x的二次函數y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，且拋物線的開口向上時，求此拋物線的解析式；

（3）在坐標系中畫出（2）中的函數圖象，分析當直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點時b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）所求拋物線的解析式為：y=x2﹣2x；（3）當b＞﹣時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點．

【解析】試題分析：（1）二次項系數m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實數根；
（2）設拋物線與x軸兩交點的橫坐標為x1，x2，則兩交點之間距離為|x1-x2|=2，再與根與系數關系的等式結合變形，可求m的值，從而確定拋物線的解析式；
（3）聯立方程組，有解時，求出b的取值范圍．

試題解析：

（1）分兩種情況討論．

①當m=0時，方程為x﹣2=0，x=2．

∴m=0時，方程有實數根．

②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，

∴m≠0時，方程有實數根．

故無論m取任何實數時，方程恒有實數根．

綜合①②可知，m取任何實數，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有實數根；

（2）設x1，x2為拋物線y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2與x軸交點的橫坐標．

則有x1+x2= ，x1x2=

由|x1﹣x2|==||，

由|x1﹣x2|=2得||=2，

∴=2或=﹣2

∴m=1或m=﹣

而拋物線開口向上，

∴m=1

∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣2x；

（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y1，y2組成的圖象只有兩個交點，

聯立得， ，

∴x2﹣3x﹣b=0，

∴△=9+4b＞0，解得b＞﹣ ；

當b＞﹣時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點．