Question

【題目】如圖Rt△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠DAC=22.5°，其中正確的是（　　）

A. ①②④B. ③④⑤C. ①③④D. ①②⑤

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；
②根據旋轉的性質，△ADC≌△ABF，進而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定說法是否正確；
④據①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．
⑤可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤．

①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，

∵

∴

∴

∴△AEF≌△AED；

故①正確；

②∵根據旋轉的性質,∴△ADC≌△AFB，

∴△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；

故此選項正確；

③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，

∴BE+DC=BE+BF>DE=EF，

故③錯誤；

④∵AB=AC,△ADC旋轉至△AFB，

∴

根據旋轉的性質可得△ADC≌△AFB,

∴

∴

∵△ADC繞點A順時針旋轉后，得到△AFB，

∴△AFB≌△ADC，

∴BF=CD，

又∵EF=DE，

∴ 故④正確.

⑤∵可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤.

故正確的有：①②④.

故選:A.