Question

【題目】如圖示，是的直徑，點是半圓上的一動點（不與，重合），弦平分，過點作交射線于點.

（1）求證：與相切：

（2）若，，求長；

（3）若，長記為，長記為，求與之間的函數關系式，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4；（3）

【解析】

（1）首先連接，通過半徑和角平分線的性質進行等角轉換，得出，進而得出，即可得證；

（2）首先連接，得出，進而得出，再根據勾股定理得出DE；

（3）首先連接，過點作，得出，再得，進而得出，然后構建二次函數，即可得出其最大值.

（1）證明：連接

∵

∴

∵平分

∴

∴

∴

∵

∴

又∵是的半徑

∴與相切

（2）解：連接

∵AB為直徑

∴∠ADB=90°

∵

∴

∴

∴

∴中

（3）連接，過點作于

∵，DE⊥AE，AD=AD

∴

∴，DE=DG

∴

∴

∴

即：

∴

∴

根據二次函數知識可知：當時，