Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，點B的坐標為（3，0），與y軸相交于點C（0，﹣3），頂點為D．

（1）求出拋物線y=x2+bx+c的表達式；
（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．
①當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設四邊形OBFC的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線過B、C兩點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線表達式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：①∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4），

∴E（1，﹣2），

∴DE=﹣2﹣（﹣4）=2，

∵PF∥DE，且P（m，m﹣3），

∴F（m，m2﹣2m﹣3），

∵點P為線段BC上的一個動點，

∴PF=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m，

當四邊形PEDF為平行四邊形時，則有PF=DE=2，

即﹣m2+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2，

∴當m的值為2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②由①可知PF=﹣m2+3m，

∴S△FBC= PFOB= ×3（﹣m2+3m）=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵S△OBC= OBOC= ×3×3= ，

∴S=S△FBC+S△OBC=﹣ （m﹣ ）2+ + =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當m= 時，S有最大值

【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的表達式；（2）①可求得直線BC的解析式，則可表示出P、F的坐標，從而可表示出PF和DE的長，由平行四邊形的性質可知PF=DE，則可得到關于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出PF的長，則可表示出△BCF的面積，從而可表示出四邊形OBFC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值．