Question

【題目】在△ABC中，已知BC=6，BC邊上中線AD=5.點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)P點(diǎn)作EF∥BC，分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E、F分別作EG∥AD，FH∥AD，交BC邊于點(diǎn)G、H．

（1）求證：P是線段EF的中點(diǎn)；

（2）當(dāng)四邊形EGHF為菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

（3） 如果sin∠ADC=，設(shè)AP長(zhǎng)為x，四邊形EGHF面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）y=-x2+5x(0<x<5)

【解析】

試題（1）利用EF∥BC，得出△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，得出，又BD=CD，則得出結(jié)論；（2）由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，得出（相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于對(duì)應(yīng)邊的比），則可求出EF；（3）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，易知四邊形EGHF是平行四邊形，根據(jù)S四邊形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y，利用△AEF∽△ABC，求得EF，利用sin∠ADC=求得PQ，則可得y關(guān)于x的關(guān)系式.

解：（1）∵EF∥BC，∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，

∴，，∴，

又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中點(diǎn)．

（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，

∴，

設(shè)EF=a，則EG=EF=a，

∵EG∥AD，EF∥BC，∴四邊形EGDP是平行四邊形，

∴PD=EG=a，∴AP=AD-PD=5-a，∴，解得，即EF=．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，

∵△AEF∽△ABC，∴，即，解得EF=.

∵sin∠ADC==，∴PQ=×PD=（5-x）.

∵EG∥AD，FH∥AD，∴EG∥FH，又∵EF∥BC，

∴四邊形EGHF是平行四邊形．

∴GH=EF，

∴S四邊形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y=×（5-x）=-x2+5x，

其中0<x<5.