Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結CE．

∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，

∴CE= AB=AE．

∵△ACD是等邊三角形，

∴AD=CD．

在△ADE與△CDE中， ，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB

（2）解：當AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形，

理由：∵AC= ，∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∵∠DCB=150°，

∴∠DCB+∠B=180°，

∴DC∥BE，又∵DE∥BC，

∴四邊形DCBE是平行四邊形．

【解析】（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE= AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；（2）當AC= 或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．根據（1）中所求得出DC∥BE，進而得到四邊形DCBE是平行四邊形．