Question

【題目】已知關于x的一元二次方程.

（1）證明該方程一定有兩個不相等的實數根；

（2）設該方程兩根為x1、x2（x1<x2）.

①當時，試確定y值的范圍；

②如圖，平面直角坐標系中有三點A、B、C，坐標分別為（x1,0）、（x2,3）、（7，0）.以點C為圓心，2個單位長度為半徑的圓與直線AB相切，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當n<-3時，y<-3；②n= -

【解析】

（1）根據根的判別式即可證明；

（2）①解方程得，方程兩根為3和3-，由n<-3得到<0，故3-，根據y=x2(n+x1) =3n+6，根據一次函數的性質即可求解；

②作CD⊥AB于D，DH⊥AC于H.由①知,A（3,0），由C（7,0），得CA=4，由圓C與直線AB相切，得CD=2,可得AD=2.利用S△ADC=，求得DH=，再得到點D坐標為（6，），求出直線AB的函數關系式為y=，將點B的坐標代入直線方程得n= -，故可求解.

（1）因為△=9>0,

所以該方程一定有兩個不相等的實數根；

（2）①

故方程兩根為3和3-，

因為n<-3,所以n+3<0,

所以<0,

所以3-.

所以x1=3，x2=3-.

故y=x2(n+x1)==3n+6，

y是n的一次函數，

因為3>0，所以y隨n的增大而增大，

所以當n<-3時，y<-3.

②作CD⊥AB于D，DH⊥AC于H.

由①知,A（3,0），因為C（7,0），

所以CA=4，

因為圓C與直線AB相切，

所以CD=2,

可得AD==2.

因為S△ADC=，

即2，所以DH=，∴AH==3

∴點D坐標為（6，）.

設直線AB的函數關系式為y=kx+b，代入A（3,0）、D（6，）

得，解得，.

所以直線AB的函數關系式為y=.

將點B的坐標代入直線方程得，×=3,

解得，n= -，經檢驗， n= -是方程的解，

所以n= -