Question

【題目】如圖一所示，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，D是AB邊上的一點，連接CD，過A作AE⊥CD，E為垂足，AF⊥AE，且AF＝AE．連接FB

（1）求證：CE＝FB；

（2）如圖二，延長FE交BC于G點，如果G點正好為BC的中點，求證：EG+EA＝FB．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）由“HL”可證Rt△AEC≌Rt△AFB，可得CE=FB；

（2）過點G作GH⊥EG，交CD于H，連接AG，由全等三角形的性質可得AF=AE，∠BAF=∠CAE，可求∠AFE=∠AEF=∠GEH=45°，可得EH=EG，由“SAS”可證△AEG≌△CHG，可得AE=CH，即可得結論．

證明：（1）∵AE⊥CD，AF⊥AE，

∴∠AFB＝∠AEC＝90°，

∵AF＝AE，AB＝AC，

∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）

∴CE＝FB；

（2）如圖（二），過點G作GH⊥EG，交CD于H，連接AG，

∵Rt△AEC≌Rt△AFB，

∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∵∠CAE+∠DAE＝90°，

∴∠BAF+∠DAE＝90°，

∴∠FAE＝90°，且AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF＝45°，

∴∠GEH＝45°，且GH⊥EG

∴∠GEH＝∠GHE＝45°，

∴EG＝GH，

∴EH＝EG，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點G是BC中點，

∴AG＝GC，AG⊥GC，

∴∠AGC＝∠EGH＝90°，

∴∠AGE＝∠CGH，EG＝GH，AG＝GC，

∴△AEG≌△CHG（SAS）

∴AE＝CH，

∴BF＝CE＝EH+HC＝EG+AE．