Question

【題目】如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D．點P為線段CD上一點（不與端點C、D重合），PE⊥PA，PE與BC的延長線交于點E，與AC交于點F，連接AE、AP、BP．

（1）求證：AP＝BP；

（2）求∠EAP的度數；

（3）探究線段EC、PD之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）EC＝ PD，理由見解析

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得CD是AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得AP＝BP；

（2）由∠ACE＝∠APE＝90°，可得點A，點P，點C，點E四點共圓，可得∠AEP＝∠ACD＝45°，即可求∠EAP的度數；

（3）過點E作EH⊥CD于點H，根據“AAS”可證△APD≌△PEH，可得EH＝PD，根據勾股定理可求EC＝EH，即可得EC＝PD．

證明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD平分∠ACB，

∴CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠CAD＝∠DBC＝45°，

∴CD是AB的垂直平分線

∴AP＝BP，

（2）∵∠ACE＝∠APE＝90°，

∴點A，點P，點C，點E四點共圓，

∴∠AEP＝∠ACD＝45°，且AP⊥EP，

∴∠EAP＝45°

（3）EC＝ PD，理由如下：

如圖，過點E作EH⊥CD于點H，

∵∠EAP＝∠AEP＝45°，

∴AP＝PE，

∵∠APE＝90°＝∠ADP

∴∠APD+∠PAD＝90°，∠APD+∠EPH＝90°，

∴∠PAD＝∠EPH，且AP＝PE，∠EHP＝∠ADP＝90°

∴△APD≌△PEH（AAS）

∴EH＝PD，

∵∠ECH＝∠DCB＝45°，EH⊥CD

∴∠HEC＝∠HCE＝45°

∴EH＝CH

在Rt△ECH中，EC＝＝EH

∴EC＝PD．