Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=10，CD=8，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，再根據等腰三角形的性質得出一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直角，即可得證；
（2）過O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，利用勾股定理求出BG的長，由垂徑定理可得BE=2BG，中由切割線定理求出CE的長即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵BD為∠ABC平分線，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，
則四邊形ODCG為矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=12．
解得：BE=12，
∵AC是⊙O的切線，
∴CD²=CE•CB，
即8²=CE（CE+12），
解得：CE=4或CE=-16（舍去），
即CE的長為4．

點評 此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，矩形的判定與性質，平行線的判定與性質，切割線定理等知識；熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．