Question

【題目】如圖所示，在直角梯形中，，，，，．動點從點出發，沿邊向點以每秒2個單位長的速度運動，動點同時從點出發，在邊上以每秒1個單位長的速度向點運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為（秒），

（1）①設的面積為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

②當為何值時，？能不能等于？為什么？

（2）①當為何值時，？

②當為何值時，點是在的垂直平分線上？

Answer 1

【答案】（1）①S=﹣2t+12(0＜t≤4.5）；②S不能等于2；（2）①當t=3時，四邊形PCDQ是平行四邊形．②當t=時，點Q是在PD的垂直平分線上.

【解析】

（1）①過點P作PE⊥AD于E，可得四邊形ABPE是矩形，PE=AB=4，又因為DQ=6﹣t，可得與之間的函數關系式，根據，點從點出發，沿邊向點以每秒2個單位長的速度運動，可得x取值范圍；②設s=6,s=2即可解答；（2）①當PQ∥CD時，又因為 DQ∥CP，所以四邊形PCDQ是平行四邊形，可得PC=DQ，從而求解；②A因為E=BP=2t，PE=AB=4，QE=AE-AQ=BP-AQ=2t﹣t=t，所以當點Q是在PD的垂直平分線上時，DQ=PQ，DQ2=PQ2，根據勾股定理得t2+42=（6﹣t）2，從而求解.

（1）①直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=9，AB=4，AD=6，

依題意AQ=t，BP=2t，則DQ=6﹣t，CP=9﹣2t，

過點P作PE⊥AD于E，

則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=4，

∴S=DQAB=（6﹣t）×4=﹣2t+12(0＜t≤4.5）．

②當S=6時，﹣2t+12=6，

解得，t=3，

∴當t=3時，S=6，

當S=2時，﹣2t+12=2，

解得，t=5＞4.5

∴S不能等于2；

（2）①當PQ∥CD時，∵DQ∥CP，

∴四邊形PCDQ是平行四邊形，∴PC=DQ，

∴9﹣2t=6﹣t解得：t=3，

∴當t=3時，四邊形PCDQ是平行四邊形．

②AE=BP=2t，PE=AB=4，

QE=AE-AQ=BP-AQ=2t﹣t=t，

當點Q是在PD的垂直平分線上時，DQ=PQ，DQ2=PQ2，

∴t2+42=（6﹣t）2，

解得：t=

∴當t=時，點Q是在PD的垂直平分線上.