Question

【題目】（1）同題情境：如圖1,AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°.求∠APC的度數.

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180°.

∴∠APE＝180°－∠PAB＝180°－130°＝50°.

∵AB∥CD.∴PE∥CD.

…………

請你幫助小明完成剩余的解答.

（2）問題遷移：請你依據小明的思路，解答下面的問題：

如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.

①當點P在A、B兩點之間時，∠CPD，∠α，∠β之間有何數量關系？請說明理由.

②當點P在A、B兩點外側時（點P與點O不重合），請直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)110°;(2) 詳見解析

【解析】（1）根據平行線的判定與性質補充即可；

（2）①過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

②畫出圖形（分兩種情況（i）點P在BA的延長線上，（ii）點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）剩余過程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800，

∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．

（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：

過P作PQ∥AD ．

∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，

同理，，

∴；

②（i）當P在BA延長線時，如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；

（ii）當P在AB延長線時，如圖5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．