Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直徑，DA、DB分別交⊙O于點E、C，連接EC，OE，OC．

（1）當∠BAD是銳角時，求證：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，則△AOE的最大面積為　 ；

②當DA與⊙O相切時，若AB＝，則AC的長為　 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①S△AOE最大＝；②AC＝1.

【解析】

（1）利用垂直平分線，判斷出∠BAC＝∠DAC，得出EC＝BC，用SSS判斷出結論；

（2）①先判斷出三角形AOE面積最大，只有點E到直徑AB的距離最大，即是圓的半徑即可；②根據切線的性質和等腰直角三角形的性質解答即可．

（1）連接AC，如圖1，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AC⊥BD，

∵AD＝AB，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴，

∴BC＝EC，

在△OBC和△OEC中，

∴△OBC≌△OEC（SSS），

（2）①∵AB是⊙O的直徑，且AB＝2，

∴OA＝1，

設△AOE的邊OA上的高為h，

∴S△AOE＝OA×h＝×1×h＝h，

∴要使S△AOE最大，只有h最大，

∵點E在⊙O上，

∴h最大是半徑，

即h最大＝1

∴S△AOE最大＝，

故答案為；

②如圖2：

當DA與⊙O相切時，

∴∠DAB＝90°，

∵AD＝AB＝，

∴∠ABD＝45°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AC＝BC＝，

故答案為1