Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BE交CD于點E，∠ADC的平分線DF交AB于點F．

（1）若AD＝4，AB＝6，求BF的長．

（2）求證：四邊形DEBF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的定義即可得到結論；

（2）由在ABCD中，BE是∠ABC的平分線，DF是∠ADC的平分線，易證得∠ADF＝∠CBE，利用ASA可證△ADF≌△CBE，繼而證得DE＝FB，根據DE∥BF，則可證得四邊形DEBF是平行四邊形，

解：（1）在平行四邊形ABCD中，

∵AB∥CD，

∴∠AFD＝∠CDF，

∵∠ADC的平分線DF交AB于點F．

∴∠ADF＝∠CDF，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴AF＝AD＝4，

∵AB＝6，

∴；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC．

又∵BE是∠ABC的平分線，DF是∠ADC的平分線

∴∠ADF＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，

∴∠ADF＝∠CBE，

∴△ADF≌△CBE（ASA）．

∴AF＝CE．

∴AB﹣AF＝CD﹣CE

即DE＝FB．

又∵DE∥BF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形．