Question

【題目】一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作…若在第 n 次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．

（1）判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD的長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？
如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．

（2）探究與計算：
已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：判斷與操作：

矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如1所示：

（2）

解：探究與計算：

第一次操作后剩下的矩形的兩邊長度為a、（20﹣a），

第二次操作后剩下的矩形的兩邊長度為（20﹣2a）、a或（2a﹣20），（20﹣a），

∵矩形ABCD是3階奇異矩形，

∴有①20﹣2a=2a，②a=2（20﹣2a），③20﹣a=2（2a﹣20），④2a﹣20=2（20﹣a），

解得：a1=5，a2=8，a3=12，a4=15．

裁剪線的示意圖如2①、2②、2③、2④所示：

【解析】1、根據已知操作步驟畫出即可；2、找出第一、二次操作后剩下矩形的兩邊長度，令其一邊為另一邊的二倍，解關于a的一元一次方程即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的判定方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．