Question

【題目】有這樣一道習題：如圖1，已知OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(不與O、A重合)，BP的延長線交⊙O于Q，過Q點作⊙O的切線交OA的延長線于R.

（1）證明：RP=RQ；

（2）請探究下列變化：

A、變化一：交換題設與結論.已知：如圖1，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(不與O、A重合)，BP的延長線交⊙O于Q，R是OA的延長線上一點，且RP=RQ.證明：RQ為⊙O的切線.

　　

B、變化二：運動探求. ①如圖2，若OA向上平移，變化一中結論還成立嗎？(只交待判斷) 答：_________.

②如圖3，如果P在OA的延長線上時，BP交⊙O于Q，過點Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，原題中的結論還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）變化一：證明見解析；變化二：①結論成立；②結論成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）首先連接OQ，由切線的性質，可得∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，繼而可證得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，則可證得RP=RQ，

（2）A、變化一，連接OQ， 證明∠OQR=90°即可；

B、變化二：①若OA向上平移，變化一中的結論還成立，證明思路同變化一；

②如果P在OA的延長線上時，BP交⊙O于Q，過點Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，原題中的結論還成立，連接OQ，證明思路同（1）；

試題解析：（1）連接OQ，

∵OQ=OB，∴∠OBP=∠OQP，

又∵QR為⊙O的切線，

∴OQ⊥QR，

即∠OQP+∠PQR=90°，

而∠OBP+∠OPB=90°，

故∠PQR=∠OPB，

又∵∠OPB與∠QPR為對頂角，

∴∠OPB=∠QPR，∴∠PQR=∠QPR

∴RP=RQ；

變化一、連接OQ，

∵RP=RQ，

∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

即∠OQR=90°，

∴RQ為⊙O的切線；

變化二、(1)結論成立 ，

連接OQ，

∵RP=RQ，

∴∠PQR=∠QPR=∠BPM，

又∵OB=OQ，RP⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPM=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

即∠OQR=90°，

∴RQ為⊙O的切線；

(2)結論成立，

連接OQ，

∵RQ是⊙O的切線，

∴OQ⊥QR，

∴∠OQB+∠PQR=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠OPB+∠B=90°，

又∵OB=OQ，

∴∠OQB=∠B，

∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ，

∴RP=RQ．