Question

【題目】如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓圓相交于點，過作直線．

（1）求證：是圓的切線；

（2）若，，求優弧的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）優弧的長＝．

【解析】

（1）連接OD交BC于H，如圖，利用三角形內心的性質得到∠BAD=∠CAD，則，利用垂徑定理得到OD⊥BC，BH=CH，從而得到OD⊥DG，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）連接BD、OB，如圖，先證明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定義求出∠BDH=60°，則可判斷△OBD為等邊三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，則∠BOC=120°，然后根據弧長公式計算優弧的長．

（1）證明：連接交于，如圖，

∵點是的內心，

∴平分，

即，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴是圓的切線；

（2）解：連接、，如圖，

∵點是的內心，

∴，

∵，

∴

∴，

∵，

在中，，

∴，

而，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴，

∴優弧的長＝．