Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE．聯(lián)結(jié)BF、CD、AC．

(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

(2)如果DE2＝BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形．

Answer 1

【答案】 (1) 證明見解析；(2) 證明見解析.

【解析】

（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形；（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對(duì)應(yīng)角相等，從而得到直角來證明有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

（1）連接BD，

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，

∴AC=BD，

∵DE⊥BC，EF=DE，

∴BD=BF，CD=CF，

∴AC=BF，AB=CF，

∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）∵DE2=BECE

∴，

∵∠DEB=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DCE，

∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，

∴四邊形ABFC是矩形．