Question

已知二次函數
（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點．
（2）設a<0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式．
（3）在（2）的條件下，若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)

解析試題分析：（（1）根據函數與方程的關系，求出△的值，若為正數，則此函數圖象與x軸總有兩個交點．
（2）根據二次函數圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．
試題解析：（1）因為△=
所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點
（2）設x₁、x₂是的兩個根，則，，因兩交點的距離是，所以
即：
變形為：
所以：
整理得：
解方程得：
又因為：a<0
所以：a=－1
所以：此二次函數的解析式為
（3）設點P的坐標為，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，所以：AB=
所以：S_△PAB=
所以：
即：，則
當時，，即
解此方程得：=－2或3
當時，，即
解此方程得：=0或1
綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)
考點：二次函數的綜合.