Question

【題目】如圖1，AC是邊長為6的菱形ABCD的對(duì)角線，∠ABC＝∠PAQ＝60°，∠PAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，射線AP、AQ分別交邊BC、CD于點(diǎn)E、F，連接EF．請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AE、AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由

(3)如圖2，將∠PAQ沿著AC向下平移至點(diǎn)A處，使CA′：AA′＝2：1，在∠PA′Q繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)過程中，始終保持∠ABC＝∠PA′Q，射線A′P、A′Q分別交直線BC、CD于點(diǎn)E、F，連接EF．當(dāng)S△A′EF：S菱形ABCD＝19：18時(shí)，直接寫出線段CE的長．

Answer 1

【答案】(1)AE＝AF；(2)存在，S△AEF的最小值為；(3)滿足條件的EC的值為6或10．

【解析】

(1)結(jié)論：AE＝AF．只要證明△ACE≌△ADF即可解決問題．

(2)證明△AEF為等邊三角形，故只有邊長最小時(shí)，△AEF的面積才最小，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AE為最小．

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題：①如圖2中，當(dāng)?shù)?/span>E在CB的延長線上時(shí)．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)．

解：(1)結(jié)論：AE＝AF．

理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD

∵∠ABC＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝60°，

∴AC＝AD，

又∵∠PAQ＝60°，

∴∠ACE＝∠ADF＝∠CAD＝60°，AC＝AD，

∴∠CAE＝∠DAF，

∴△ACE≌△ADF(ASA)，

∴AE＝AF．

(2)存在．

理由：如圖1中，由(1)得AE＝AF，∠PAQ＝60°

∴△AEF為等邊三角形，

故只有邊長最小時(shí)，△AEF的面積才最小，

∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AE為最小，

∵AB＝6，

此時(shí)AE＝3，則S△AEF的最小值為．

(3)①如圖2中，當(dāng)?shù)?/span>E在CB的延長線上時(shí)，作A′H⊥BC于H．

由題意菱形ABCD的面積＝2××62＝18，

∵S△A′EF：S菱形ABCD＝19：18，

∴S△AEF＝19，

∵△A′EF是等邊三角形，

∴×A′E2＝19，

∴A′E2＝76，

在Rt△A′CH中，∵CA′＝4，∠A′CH＝60°，

∴CH＝×4＝2，A′H＝2，

∴EH＝＝8，

∴CE＝EH+CH＝8+2＝10．

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，作A′H⊥BC于H．

同法可證EH＝8，可得EC＝EH＝CH＝8﹣2＝6，

綜上所述，滿足條件的EC的值為6或10．