Question

【題目】如圖，點P是⊙O外一點，過點P作⊙O的切線，切點為A，連接PO并延長，交⊙O于B、C兩點．

（1）求證：△PBA∽△PAC；

（2）若∠BAP=30°，PB=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）利用弦切角定理可以證明：∠PAB=∠C，則△PBA和△PAC中有兩個角對應相等，則一定相似；

（2）易證△OAB是等邊三角形，再證明AB=BP，即可求解．

（1）證明：∵PA作⊙O的切線，切點為A，

∴∠PAB=∠C，

又∵∠P=∠P，

∴△PBA∽△PAC；

（2）∵PA作⊙O的切線，切點為A，

∴∠OAP=90°，

∵∠BAP=30°，

∴∠OAB=60°，

∵OA=OB，

∴∠ABO=60°，

∴∠P=30°

∴∠AOB=90°﹣∠P=90°﹣30°=60°．

∵OA=OB

∴△OAB是等邊三角形．

∴OB=AB．

∵PA作⊙O的切線，切點為A，

∴∠PAB=∠AOB=30°，

∴∠PAB=∠P，

∴AB=BP

∴OB=AB=BP=2．