Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．將拋物線沿y軸平移t（t＞0）個單位，當平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點時，則t的取值范圍是___．

Answer 1

【答案】或

【解析】

把函數y=﹣x2+2x+3化為頂點式y=a（x-h）2+k，向下平移使拋物線與線段OB有且只有一個交點，需找到臨界值以及單獨分析頂點落在x軸的情況．

解：分析題意可知，拋物線只能沿y軸向下平移，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴平移后的拋物線的解析式為y=-（x-1）2+4-t（t＞0），

當拋物線過原點時，拋物線與線段OB有兩個交點，
此時，把（0，0）代入得：0=-（0-1）2+4-t，
解得t=3；
當平移后的拋物線的頂點落在x軸上時，x=1，y=0，
代入解析式得：0=-（1-1）2+4-t，
解得t=4，
若使平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點，

則0＜t＜3或t=4，
故答案為：0＜t＜3或t=4.