Question

【題目】定義：長寬比為：1（n為正整數）的矩形稱為矩形．
下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形ABCD沿過點B的直線折疊，使折疊后的點C落在對角線BD上的點G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過點G的直線折疊，使點A，點D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF．
則四邊形BCEF為矩形．
證明：設正方形ABCD的邊長為1，則BD==．
由折疊性質可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴=，即=．
∴BF=．
∴BC：BF=1：=：1．
∴四邊形BCEF為矩形．
閱讀以上內容，回答下列問題：
（1）在圖①中，所有與CH相等的線段是 ，tan∠HBC的值是 ;

（2）已知四邊形BCEF為矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②，求證：四邊形BCMN是矩形；
（3）將圖②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個“矩形”，則n的值是 .

Answer 1

【答案】
（1）GH、DG；
（2）

∵BC=1，EC=BF=，

∴BE==．

由折疊可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．

∵四邊形BCEF是矩形，

∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，

∴四邊形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，

∴MN∥EF，

∴=，即BPBF=BEBN，

∴1×=BN，

∴BN=，

∴BC：BN=1：=：1，

∴四邊形BCMN是的矩形；

（3）6
【解析】（1）由折疊可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
設HC=x，則DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，∴DH=x，
∴DC=DH+CH=x+x=1，
解得x=．
∴tan∠HBC===．
所以答案是：GH、DG，
（3）同理可得：
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“矩形”，
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“矩形”，
將矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個“矩形”，
所以將圖②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個“矩形”，
所以答案是6．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．