Question

【題目】取一張正方形的紙片進行折疊，具體操作過程如下：
第一步：如圖1，先把正方形ABCD對折，折痕為MN．
第二步：點G在線段 MD上，將△GCD沿GC翻折，點D恰好落在MN上，記為點P，連接BP．

（1）判斷△PBC的形狀，并說明理由；
（2）作點C關于直線AP的對稱點C′，連接PC′、DC′．
①在圖2中補全圖形，并求出∠APC′的度數；
②猜想∠PC′D的度數，并加以證明；（溫馨提示：當你遇到困難時，不妨連接AC′、CC′，研究圖形中特殊的三角形）

Answer 1

【答案】
（1）解：△PBC是等邊三角形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，

由折疊的性質得：BN=NC= BC= PC，MN⊥BC，

∴PB=PC，∠PNC=90°，

在Rt△PNC中，sin∠NPC= = ，

∴∠NPC=30°，

∴∠PCB=60°，

∴△PBC是等邊三角形

（2）解：①補全圖形如圖2所示：

由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABP=90°﹣60°=30°，

∵AB=BC，

∴AB=PB，

∴∠BAP=∠BPA= （180°﹣30°）=75°，

∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，

∵C關于直線AP的對稱點為C′，

∴∠APC'=∠APC=135°；

②連接AC'，CC'，如圖3所示：

由對稱的性質得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，

∴∠CAC'=60°，

∴△CAC'是等邊三角形，

∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，

在△AC'D和△CC'D中， ，

∴△AC'D≌△CC'D（SSS），

∴∠AC'D=∠CC'D= ∠AC'C=30°，

∵∠AC'P=∠ACP=15°，

∴∠PC'D=15°．

【解析】（1）由正方形的性質得出AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折疊的性質得：BN=NC= BC= PC，MN⊥BC，得出PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，由三角函數得出sin∠NPC= = ，求出∠NPC=30°，得出∠PCB=60°，即可得出結論；（2）①根據題意補全圖形，由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠BAP=∠BPA=75°，求出∠APC=∠BPA+∠BPC=135°，再由得出的性質得出∠APC'=∠APC=135°；②由對稱的性質得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，證出△CAC'是等邊三角形，得出AC'=CC'，∠AC'C=60°，由SSS證明△AC'D≌△CC'D，得出∠AC'D=∠CC'D= ∠AC'C=30°，由∠AC'P=∠ACP=15°，即可得出∠PC'D=15°．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．