Question

【題目】如圖，已知四邊形中，，，，.

（1）求四邊形的面積；

（2）動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度，沿方向，向點運動；動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度，沿方向，向點運動，過點作于點.若、兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為.問：

①當點在上運動時，是否存在這樣的，使得直線將四邊形的周長平分？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；

②在運動過程中，是否存在這樣的，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①當時，將四邊形的周長平分.②或時，以、、為頂點的三角形與相似.

【解析】

（1）作交于點，利用勾股定理的逆定理證得四邊形是直角梯形，然后根據直角梯形的面積公式即可求得；

（2）①利用周長平分，列出方程即可求解；

②當點P在AB上時，分和兩種情況，根據等角的正切函數構建方程即可求解；當點P在AD和DC上時，不可能構成與相似的三角形.

（1）過點作交于點，

∵，

∴四邊形是平行四邊形.

∴；.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴.

∴四邊形是直角梯形.

.

（2）①當點在上運動時，，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴當時，將四邊形的周長平分.

②∵，，，

∴點運動到時運動停止，

∴.

第一種情況：，若，則.

∴.

∴，∴.

若，則，

∴，

∴，∴.

第二種情況：，、、三點不能組成三角形；

第三種情況：，為鈍角三角形與不相似；

∴或時，以、、為頂點的三角形與相似.