Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N．

(1)如圖①，當AM＝BN時，將△ACM沿CM折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將△BCN沿CN折疊，點B也恰好落在點P處，此時，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形狀是________．線段AM、BN、MN之間的數量關系是________)；

(2)如圖②，當扇形CEF繞點C在∠ACB內部旋轉時，線段MN、AM、BN之間的數量關系是________，試證明你的猜想；

(3)當扇形CEF繞點C旋轉至圖③的位置時，線段MN、AM、BN之間的數量關系是________．(不要求證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根據折疊的性質知： 　　△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP； 　　∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN． 　　∴∠MPN＝∠A＋∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN． 　　故△PMN是等腰直角三角形，AM2＋BN2＝MN2(或AM＝BN＝MN)． 　　(2)AM2＋BN2＝MN2； 　　將△ACM沿CM折疊，點A落在弧EF上的D點，得△DCM，連結DN，則△ACM≌△DCM， 　　∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM． 　　∵∠ACE＋∠FCB＝∠ECF＝∠ECD＋∠DCF， 　　又∵∠ACE＝∠ECD， 　　∴∠FCB＝∠DCF． 　　在△DCN和△BCN中， 　　CN＝CN，∠DCN＝∠BCN，CD＝BC， 　　∴△DCN≌△BCN． 　　∴DN＝BN． 　　而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°， 　　∴∠MDN＝90°， 　　∴DM2＋DN2＝MN2， 　　故AM2＋BN2＝MN2． 　　(3)AM2＋BN2＝MN2；解法同(2)．